КОВЫЛЯТЬ

-я́ю, -я́ешь; нсв.; разг.Идти, хромая, припадая на ногу, вперевалку или с трудом.Ковыля́ть на кривых ногах.Что же ты ковыляешь еле-еле!

Общепринятой этимологии нет, возможно, является однокоренным с вилять – "шататься". В этом случае изменение ей на вы объясняется влиянием слова ковыль.

-яю; несов. (разг.). Идти хромая, с трудом.

-я́ю, -я́ешь; несов. Раз. Идти, хромая, припадая на ногу или вперевалку. В комнату, ковыляя на кривых ножках, вошел маленький старичок. Тургенев, Вешние воды. [Утки] ныряли и, смешно ковыляя, выкарабкивались на берег. Соколов-Микитов, У синего моря. Одна нога была у него на деревяшке, но он бойко ковылял на ней, не зная усталости. Гладков, Повесть о детстве.

ковылять идти прихрамывая, припадая на одну ногу. (лекция «Помощь», 1960)

Искон. Преф. производное (ср. Коверкать) от Вилять "качаться, шататься", и < ы, как в Дыра < дира.