ЗАНЕМОЧЬ

-могу́, -мо́жешь, -мо́гут; занемо́г, -ла́, -ло́; св.; разг.Почувствовать недомогание; заболеть.Занемо́чь надолго.Он простудился и занемог.

Производное от глагола немочи – "болеть, хворать", образованного с помощью отрицательной приставки от мочи – "мочь, быть в силах".

-могу́, -мо́жешь, -мо́гут; прош. занемо́г, -ла́, -ло́; сов. устар. Почувствовать недомогание; заболеть¹. [Василий Андреевич] вышел без шапки отпускать лес, простудился и занемог. Чехов, Душечка.

Искон. Преф. производное от немочь "быть нездоровым" (от мочь "быть в силах").   См. Мочь, Мощь.   Ср. немощный.